liczby zespolone Bartek: Dlaczego w odpowiedzi napisali, że rozwiązaniem jest prosta przechodząca przez punkty −4 oraz punkt 2i bez punktu 2i, skoro mnie jak wół wychodzi ta prosta się nie pojawia nawet w pobliżu punktu 2i?

	z + 4
Treść zadania: naszkicuj zbiór liczb zespolonych z, dla których liczba u=		jest
	2 − 2i

liczbą rzeczywistą. Oczywiście wiadomo, że zaczynam od warunku, iż w tym momencie wartość Im u musi być równa zero. Tylko, że właśnie sprawa jest dziwna,bo po wszystkich przekształceniach dochodzę do tego:

	2z + 8
Im u=		=0 Oczywiście z =! 2i.
	z2 + 4

No to mam: 2z +8 =0 (2x + 8) +2yi = 0 2x + 8 = 0 2y = 0 No to gdzie, u czorta, ta prosta ma się choćby stykać z punktem 2i? Jakim cudem prosta y=2x + 8 ma się stykać z punktem 2i? Tak btw na początku myślałem, że chodzi prostą równoległą do osi Im z, która przechodzi przez punkt −4. Potem przeczytałem odpowiedź i zgłupiałem.

Bartek: Nie, ja ewidentnie jestem już dzisiaj zmęczony;

Bartek: Jakby co, to ja cały czas oczekuję na podpowiedź Choć trzeba przyznać, że pora późna

Basia:

	z+4		(z+4)(2+2i)
u =		=		=
	2−2i		(2−2i)(2+2i)

(z+4)(2+2i)		(z+4)(2+2i)		2(z+4)(1+i)
	=		=		=
4 − 4i2		8		8

(z+4)(1+i)
4

aby u∊R potrzeba i wystarcza aby (z+4)(1+i) ∊R z = x+i*y (z+4)(1+i) = z + i*z + 4 + 4i = x+i*y + i*(x+i*y) + 4 + 4i = x+i*y + i*x + i²*y + 4 + 4i = x+i*y + i*x − y + 4 + 4i = (x−y+4)+i*(x+y+4) ∊ R ⇔ x+y+4 = 0 ⇔ y = −x − 4 czyli masz prostą o równaniu y = −x − 4 i nie widzę żadnego powodu, żeby z niej coś wyrzucać chyba, że coś źle przepisałeś; czy tam w mianowniku nie miało być z − 2i ?

Bartek: O rany julek, sory...tzn. u siebie na kartce poprawnie miałem napisane, ale tutaj źle wstukałem w komputer. Wielkie sory, nie chcący to było. Tak jest poprawnie:

	z + 4
u=
	z − 2i

Tylko, że to poprawne przepisanie w rozwiązaniu i moich obliczeniach i tak to nie wiele zmienia. Na końcu mam zwyczajnie takie coś: 2x + 8 = 0 2y = 0 więc 2x − 2y + 8 =0 x − y +4 = 0 y=x + 4 i faktycznie ta prosta przechodzi przez punkt (−4,0) .... Ale dlaczego oni tak dziwnie odpowiedź napisali to nie wiem. No ok, z=!2i . Jasna sprawa. Ale przecież ta prosta nie styka się z punktem 2i w ogóle. Nie wiem o co im chodzi...

Basia: jeżeli jest tak jak myślę to:

	z+4
u =
	z−2i

z ≠ 2i z = x+i*y czyli "odpada" para x=0 y=2

	x+i*y+4
u =		=
	x+i*y − 2i

(x+4)+i*y
	=
x+i*(y−2)

[(x+4)+i*y]*[x−i*(y−2)]
	=
[x+i*(y−2)]*[x−i*(y−2)]

(x+4)*x − i*(x+4)(y−2) + i*x*y − i2*y*(y−2)
	=
x2 − i2(y−2)2

[ x2+4x + y2 − 2y] +i*[ xy − (x+4)(y−2)]
x2+(y−2)2

aby u∊R potrzeba i wystarcza aby licznik∊R (bo mianownik już ∊R) ⇔ xy − (x+4)(y−2) = 0 xy − xy + 2x − 4y +8 = 0 2x − 4y + 8 = 0 4y = 2x+8 /:4 y = ¹₂x + 2 punkt (0;2) jak najbardziej należy do tej prostej czyli trzeba go z niej wyrzucić ⇒ u∊R ⇔ { (x,y)∊RxR: y = ¹₂x+2 ∧ x≠0 } co jak mi się wydaje pokrywa się z Twoją odpowiedzią

Basia: gdzieś się pomyliłeś w rachunkach po prostu

Bartek: Basiu, jesteś Omni... Ja w ogóle przy pewnej próbie rozpisałem to tak samo jak ty, ale przerwałem obliczenia,bo wydawało mi się, że to wszystko za bardzo skomplikowałem. Pewnie gdybym w ten sposób robił, wyszło by okej. Dzięki i pozdrawiam

gośc: Basi się po prostu chce −− patrz np.: https://matematykaszkolna.pl/forum/151147.html Mi by się nie chciało!

Bartek: Sytuacja inna...teraz ten sam przykład, ale u ma być urojona. Wszystko już obliczyłem i oczywiste, że to będzie okrąg o promieniu √5 i środku w punkcie z=−2 +i ale dlaczego oni jeszcze twierdzą, że bez punktu −4 ? (x+2)² +(y−1)²=5 Mianownik: x²+(y−2)²=(−4)²+(0−2)²=20 no to 20=!0 Więc dlaczego oni chcą bez −4 ?

Bartek: Ta sama sytuacja w przykładzie:

	z
v=		, który oczywiście już rozwiązałem, ale pod koniec nie rozumiem...
	iz + 4

Tzn. wiadomo, z=!4i , ale oni twierdzą że rozwiązaniem jest oś urojona bez punktu 0, czemu? W przykładzie v liczę już teraz sytuację, gdy v=yi, bo sytuację v=x czyli Re v już ogarnąłem.

Bartek: Pomyłka, powinno być Im v=yi ...(ale wiadomo co chodzi...)

Basia: ad.1 o jaką liczbę chodzi ? ad.2 v ma być urojona ?

Basia: ad.2 bo dla x=0 i y=0 masz

	0+i*0		0
v =		=		= 4
	i*(0+i*0)+4		4

i nie jest to liczba urojona ostatecznie: oś urojona, ale bez punktów (0,0) (0;4)

Basia:

	z1
P.S. jeżeli v =		ma być urojona ⇒ z1≠0 i z2≠0
	z2

Bartek : No właśnie tej wiedzy mi brakowało. Idę zaraz do roboty, ale jak wrócę to prześledzę to wszystko jeszcze raz. Dzięki

Bartek : Jednej drobnostki nie rozumiem. A czy 0 podzielone przez 4 nie równa się przypadkiem 0? W liczbach zespolonych jest inaczej?...